Números primos

Las matemáticas desde tiempos de antigüedad han evolucionado y creado nuevos desarrollos para su funcionamiento y facilidad a lo ahora de ponerla en práctica. Los números primos no son más que la aplicación de algoritmos a la composición de números compuestos, ya que se basan los hallazgos de dos divisores de un mismo número.

Temas relacionados

Números algebraicos, números complejos, números enteros, números irracionales, números racionales, números reales, trinomio cuadrado perfecto, factorización

¿Qué son los números primos?

Según el matemático Eratóstenes de Cirene, los números primos no siguen una lógica precisa, más bien son un producto de la división en la se halla solo dos divisores, el mismo número y el número (1), como dijo alguna vez: “más fácil es multiplicar, pero  encontrar el divisor es complejo”.

Definición

Es un número que se describe como número natural y son mayores que (1), ya que conlleva a solamente ser divididos entre el mismo y la unidad (1), se basan por los números compuestos, ya que son regidos por la división de los mismos.

Características

Entres las características que definen estos números como únicos, son:

• Poder dividirse entre solo dos divisores.
• El resultado de la división sea par.
• Existen más números primos entre 1 y 100 que entre 101 y 200.
• Todos los números primos, excepto el (2), son números impares.
• El (1) no es un número primo, porque tiene solo un divisor que es él mismo.
• Los números que adquieran más de dos divisores se les denomina números compuestos.

Historia

El transcurso de los números primos ha sucedió a lo largo de la evolución del ser humano, pasando por tres épocas de la historia, de las que destacan:

El Oriente prehelénico

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior a la primera aparición de la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt, describe el aislamiento de cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19.

Algunos arqueólogos interpretan este hecho como el primer hallazgo de la existencia de los números primos. Dicho esto, existen muy pocos descubrimientos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron surgiendo en Mesopotamia a lo largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los hechos de la época.

Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas, el sistema sexagesimal lo empleaban los babilonios para escribir estos números.

El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, división y  factorización de los naturales.

Antigua Grecia

La primera prueba en la que se tiene conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, este demuestra que hay infinitos de ellos, él expresa el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para encontrarlos, hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos poseen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne.

La criba de Eratóstenes, realizada por Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números primos. En la actualidad, los mayores números primos que se encuentran, con la ayuda de ordenadores, emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

Desde la época del renacimiento:

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En el año 1640; Pierre de Fermat estableció el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler.

Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.

En 1859 sobre la función zeta describieron el camino que conduciría a la demostración del teorema de los números primos fue entonces cuando Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno por separado, dieron apariencia a este esquema y consiguieron presentar el teorema en 1896.

Durante el siglo XIX se crearon algoritmos para saber si un número es primo o no, factorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer, desarrollado a partir de 1856.

Dentro del segundo caso está el test de Pépin para los números de Fermat en 1877. El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denomina test de Lucas.

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para calcular si un número es primo o no con complejidad sub-exponencial, lo que permite realizar test en números de miles de dígitos. Incluso la compleja estructuración de algoritmos en las máquinas más potentes de nuestros días para la búsqueda y facilidad de encontrar los números primos.

Para qué sirven

En la actualidad, los números primos nos han servido para el ámbito de la informática, ya que con ellos podemos ejecutar complejos códigos de seguridad, claves de patrones, descifrado de algoritmos y cálculos complejos.

Cómo encontrar números primos

Se pueden hallar con la factorización de un numero tanto natural como complejo, en lo que solamente al ejecutar un división, se pueden encontrar dos divisores, es decir, por una parte, dividirse consigo mismo y otro, por la unidad (1); el resultado de dicha división tiene que ser un número par.

En qué se diferencia de los números compuestos

La diferencia más característica es que al dividir un número primo, este sólo puede optar por dos divisores y los números compuestos por la división de números que son mayores que (1), es decir, números naturales y la división que lleva consigo mismo.

Números primos pares

En la infinitud de números y el arte de las matemáticas, solamente en los números primos, el número dos (2), es de forma auténtica, un número par y un número primo al mismo tiempo.

Lista de números primos del 1 hasta el 2000

Hasta el 50

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Hasta el 100

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Hasta el 150

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149

Hasta el 200

151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Hasta el 300

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293

Hasta el 500

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499

Hasta el 1 000

503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Hasta el 2 000

1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999

Otros ejemplos

Resta de números primos:

13–5 = 8 (número compuestos)
13–2= 11 (número primo)
23–2 = 21 (número compuesto)
37–7 = 30 (número compuesto)
43–2 = 41 (número primo)

Multiplicación de números primos:

2 x 3 = 6
11 x 3 = 33
29 x 5 = 145
17 x 7 = 119
13 x 11=143

División de números primos:

11 / 11 = 1
11 / 1 = 11
89 / 89 = 1
89 / 1 = 89
41 / 41 = 1
41 / 1 = 41

La suma de dos números primos es un número primo

Es un sí y no, porque puede ser que el resultado de un numero compuesto o un numero primo a la hora de ejecutarlo, uno de los ejemplos más pertenecientes son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151

11 + 2 = 13 (número primo)
3 + 2 = 5 (número primo)
7 + 2 = 9 (número compuesto)
13 + 5 = 18 (número compuesto)
5 + 2 = 7 (número primo)