Geometría plana

La geometría es una de las ramas de la matemática que tiene como finalidad estudiar las diferentes propiedades y las medidas que tiene una figura en un determinado plano o en el espacio. Existen varios tipos de geometrías, una de ellas se conoce con el nombre de geometría plana, la cual se refiere a una rama de las matemáticas que se orienta principalmente al análisis de las medidas y de las propiedades que tienen las figuras dentro de un plano o espacio.

Temas relacionados

Geometría, álgebra, álgebra lineal, trigonometría

¿Qué es la geometría plana?

La geometría plana es una parte de la geometría general que tiene como función principal la de tratar los elementos que se encuentran contenidos en un plano los cuales serán estudiados tomando en cuenta dos dimensiones.

Definición

La geometría plana es una de las ramas de la geometría que tiene la principal función de estudiar las diferentes figuras bidimensionales, en otras palabras, aquellas figuras que pueden ser graficadas en un plano. Es la ciencia que se encarga de analizar los elementos de tipo unidimensional como por ejemplo la recta, la semirrecta y los segmentos.

Características de la geometría plana

Entre sus principales características encontramos las siguientes:

• Es un tipo de ciencia matemática que se enfoca principalmente en el cálculo del área y del perímetro en las figuras planas.
• Puede también analizar y determinar el área y el volumen en los cuerpos sólidos.
• Se conoce generalmente con el nombre de geometría euclidiana o geometría elemental.
• Se basa en los postulados de Euclides o axiomas, los cuales son un tipo de hipótesis inicial que se deriva de otros anunciados por medio de la inferencia lógica.
• Es fundamentada en tres elementos geométricos importantes que son el punto, la línea y el plano.
• Incluye el estudio de todas las formas geométricas planas como por ejemplo los rectángulos, rombos, círculos y cuadrados entre otros.

Antecedentes

Los antecedentes de la geometría plana se remontan al Medio Oriente, particularmente en el antiguo Egipto, un pueblo que necesitaba utilizar un sistema de medidas para los predios agrarios y para la construcción de sus monumentos y pirámides, fue así como se empiezan a dar los primeros indicios de la geometría plana. Estos conocimientos posteriormente fueron trasladados a Grecia y fue por medio de Tales de Mileto que se inició la geometría demostrativa. Otro de los grandes matemáticos que influyó en la creación de la geometría plana fue Euclides, un matemático de Grecia que con su obra llamada “Los Elementos” logró recopilar, ordenar y sistematizar los conocimientos que existían sobre la geometría en su época.

Historia

Posteriormente de que la geometría fuera introducida en la ciudad de Grecia en el siglo VII se empezaron a dar los primeros pasos para su modernización. Pero la verdadera historia de esta rama de la matemática inicia con Euclides, un matemático griego del siglo III a.C. quien se encargó de recopilar y ordenar todos los conocimientos relacionados con geometría. Fue él quien se encargó de utilizar el razonamiento deductivo a partir de conceptos básicos primarios que no eran demostrables como lo eran el punto, la recta, el plano y el espacio.

Es importante mencionar que en la geometría plana o euclidiana se encuentra fundamentada en el quinto postulado de Euclides el cual dice que “por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y solamente una paralela a ella”. Varios matemáticos y científicos también aportaron grandes ideas a este tipo de geometría como por ejemplo Pitágoras, el encargado de colocar la piedra angular de la geometría científica y René Descartes, quién realizó una conexión entre la geometría y el álgebra por medio de representaciones de expresiones algebraicas.

En el siglo XIX, la geometría sufrió un importante cambio gracias a Carl Friedrich Gauss, Nikolai Labachewski y János Bayai quienes se encargaron de mejorar el sistema de coherente de geometría no euclídea y propusieron diferentes alternativas para generar modelos no intuitivos de espacio pero coherentes. Con el paso del tiempo a todas esas ideas y descubrimientos se les dio el nombre de geometría plana.

Para qué sirve la geometría plana

Este tipo de geometría sirve para poder realizar estudios sobre figuras planas. Tiene un papel fundamental en el campo de las matemáticas pues con ella es posible calcular tanto el área como el perímetro en las figuras como el cuadrado, triángulo, círculo y rectángulo.

Postulados

Los postulados de la geometría plana dicen de la siguiente manera:

• Se puede trazar una recta desde un punto a otro punto
• Es posible extender un segmento de una recta de forma continua a una recta.
• Se puede describir un círculo con cualquier centro y radio.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Si una línea recta porta a otras dos formando ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, que se prolongan de forma indefinida, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores.

Teoremas

Son muchos los teoremas que pueden ser aplicados en el campo de la geometría plana. Estos se mencionan a continuación.

• Teorema de Pascal: dicen que si un hexágono arbitrario está inscrito en una sección cónica y los pares de lados opuestos se sienten hasta cruzarse, los 3 puntos en los que se intersecan estarán unidos sobre una línea recta la cual se llama recta de Pascal.
• Teorema de Carnot: sea ABC un triángulo cualquiera, la suma de las distancias desde el circuncentro D a los lados del triángulo es igual a a + b + c = R + r.
• Teorema del hexágono de Pappus: que establece que si en un par de rectas se eligen 3 puntos al azar en cada una y se unen de 2 en dos, las intersecciones que los unen estarán en línea recta.
• Teorema de la Mariposa: dice que si M es el punto medio de la cuerda PQ de un círculo y que si AB y CD son cuerdas que pasan por M, entonces M será el punto medio de XY.
• Teorema de Morley: establece que en cualquier triángulo los 3 puntos de intersección entre las trisectrices de ángulos adyacentes dan forma a un triángulo equilátero conocido como triángulo de Morley.
• Teorema de Ptolomeo: en todo cuadrilátero ninguna circunferencia, la suma de los productos de los pares de los lados opuestos será igual a el producto resultante de las diagonales.

Elementos de la geometría plana

Los elementos que conforman la geometría plana son:

• Recta: es un elemento unidimensional que está formado por una serie infinita de puntos los cuales van en una sola dirección.
• Semirrecta: es una secuencia de puntos no indefinida que tiene además de un origen, una prolongación al infinito.
• Segmento: está formado por puntos que van en una misma dirección y que está acotado por un punto de origen y un final.
• Ángulo: es un arco que se forma del cruce de dos elementos bidimensionales.
• Polígono: está formado por una serie finita de segmentos los cuales no son colineales y que forman un espacio cerrado.
• Circunferencia: una figura geométrica plana y cerra en la cual todos los puntos que la constituyen están en la misma distancia del centro.

Importancia

La geometría plana es una disciplina científica muy importante dentro del campo de las matemáticas porque gracias a ellos se pueden estudiar y analizar las diferentes propiedades que forman parte de los objetos dependiendo de su forma, tamaño y posición. Por medio de la geometría plana es posible además estudiar y encontrar cuáles son las áreas de las diferentes figuras así como sus perímetros.

Ejemplos

Algunos ejemplos de geometría plana son:

• El cuadrado.
• El triangulo.
• El rectángulo.
• El pentagono.
• El paralelogramo.