Geometría analítica

La geometría analítica comprende todo análisis que se realiza acerca de las formas geométricas, haciendo uso del álgebra y el análisis matemático.

Temas relacionados

Geometría euclidiana, geometría descriptiva

¿Qué es la geometría analítica?

Desde tiempos muy antiguos, el hombre ha mantenido un interés sostenido en el estudio de las formas espaciales de la naturaleza y cómo manipularlas a su antojo. En ese orden, se desarrollaron notables esfuerzos para entender las formas y, de esa manera, surgió la geometría como campo del conocimiento. En la actualidad, la geometría clásica o euclidiana fue sustituida por una nueva concepción de la geometría que hace uso de una matemática avanzada para la estimación de las formas. Todo esta visión novedosa corresponde a la geometría analítica.

Definición de geometría analítica

La geometría analítica basa su campo de estudio en el análisis de las formas geométricas haciendo énfasis en la utilización del álgebra y el análisis matemático en un sistema de coordinadas cualquiera.

Qué estudia

A través del álgebra y el análisis matemático se encarga de estudiar las formas geométricas en un sistema de coordenadas dado, lo cual permite analizar de forma detallada todos los datos geométricos de una figura cualquiera.

Características

A diferencia de la forma clásica de la geometría (Geometría Euclidiana) que se desprende de un razonamiento lógico-deductivo, la geometría analítica representa de forma gráfica a las figuras geométricas mediante fórmulas matemáticas.

Antecedentes

Entre sus antecedentes se encuentran las nociones geométricas implementadas por las antiguas civilizaciones egipcias, babilónicas, chinas e indias. Del mismo, un papel determinante tuvo la Geometría Euclidiana, la cual fue desarrollada por Euclides de Alejandría y sus discípulos en el año de 300 A.C., aproximadamente.

Historia

En el afamado libro El Discurso del Método de René Descartes se hace la primera mención sobre este campo de conocimiento. No obstante, se atribuye su profundización y difusión dentro del mundo matemático a Frans Van Schooten y algunos de sus colaboradores.

Durante mucho tiempo también fue conocida como geometría cartesiana. No obstante, gracias a la adición del análisis matemático en su estudio, se empezó a denominar como geometría analítica.

Fundador

La fundación de este tipo de geometría se atribuye a René Descartes, destacado filósofo y matemático francés el cual, a mediados del siglo XVII, sentó las bases para el desarrollo de esta disciplina. Se considera uno de los padres del conocimiento científico moderno.

Elementos de la geometría analítica

Esta forma de geometría se conforma por los elementos siguientes:

• Sistema de coordenadas cartesianas: Se compone del sistema de coordenadas polares y rectangulares.
• Ecuación de la recta cartesiana: Esta ecuación se obtiene al conocer dos puntos por los que pasa dicha recta.
• Línea recta: Es aquella línea que no presenta desviaciones, es decir, no posee ángulos ni curvas.
• Cónicas: Son aquellas curvas en las que son definidas por las rectas que atraviesan un punto fijo y los puntos de una curva cualquiera. Se pueden mencionar entre ellas a la circunferencia, la parábola, entre otras.

Objetivo

El objetivo principal de la geometría analítica es aplicar los principios algebraicos y de análisis matemático tal que permita un mejor entendimiento de las formas geométricas y su estudio.

Problemas fundamentales

La geometría analítica, como campo de la matemática, posee dos problemas fundamentales:

• Dada la descripción geométrica de una figura o una línea, obtener la ecuación asociada a dichos elementos.
• Dada la ecuación algebraica, obtener la descripción geométrica del elemento en cuestión.

Aplicaciones

Entre las diversas aplicaciones de la geometría analítica, pueden mencionarse las siguientes:

• Ingeniería estructural: mediante la utilización de la geometría analítica, se ha potenciado notablemente el cálculo y análisis de estructuras que puedan soportar las cargas de servicio a las que deban estar sometidas. Un ejemplo de este principio se encuentra en el desarrollo de los puentes colgantes, donde la forma parabólica de los cables de acero transmiten la carga de forma eficiente.
• Astronomía: Johannes Kepler utilizó basamentos de la geometría analítica para la posterior estimación de la trayectoria de los planetas del sistema solar.
• Administración y economía: la utilización de figuras geométricas basadas en la geometría analítica permiten a los gerentes y a los economistas modernos analizar de forma rápida y sencilla todos aquellos elementos concernientes a una organización.

Importancia

El surgimiento de la geometría analítica representó un crecimiento sin precedentes de la actividad científica. Finalmente fue posible una compresión adecuada de las formas geométricas, lo cual le valió potenciar los trabajos de diversas disciplinas como la ingeniería y la arquitectura.

Autores

Entre los diversos autores que han divulgado esta disciplina científica se pueden mencionar a Lehmann, Leithold, Swokowski, entre otros.

Libros sobre geometría analítica

• Lehmann, Geometría Analítica, Limusa (2012)
• Leithold, Cálculo con Geometría Analítica, 7ma edición,
• Swokowski, Cálculo con Geometría Analítica, 2da edición, Iberoamérica (1989)

Ejemplos

• Localización de un punto en un plano: Inicialmente se deben trazar dos rectas perpendiculares una de otra; luego, cada punto de tal plano debe quedar determinado por unas distancias predeterminadas. En ese orden, se deben establecer las coordenadas dadas por un par ordenado (x,y), en las cuáles la “x” representa el valor del punto en la recta horizontal y la “y” representa el valor del punto en la recta vertical, respectivamente.