Definición de hipotenusa
El término hipotenusa se refiere al lado más largo que podemos encontrar en un triángulo rectángulo y que tiene muchas propiedades importantes tanto para la geometría como para la trigonometría. En geometría, una hipotenusa es el lado más largo que tiene un triángulo rectángulo. También podemos decir que es el lado opuesto al ángulo derecho. La palabra hipotenusa significa «longitud debajo» o «estirar debajo» y los orígenes de los usos y del principio de hipotenusa fue pensado por Platón en aproximadamente 400 a.C.
La hipotenusa de un triángulo siempre será el lado opuesto al ángulo recto, es en otras palabras el lado más grande que puede tener un triángulo rectángulos. Aparte de este lado, los otros dos se conocen con nombre de lado opuesto y lado adyacente y estos nombres están dados debido a la relación que tiene con respecto al ángulo.
Etimología
La palabra hipotenusa proviene de la palabra en griego ὑποτείνουσα, la cual es una palabra formada por una combinación de los términos “hipo” que tiene como significado debajo y “teinein” que significa alargar. Existen algunos autores que también sugieren que el significado original provino del idioma griego y que surgió debido a un objeto que soportaba algo, o de la combinación de hipo que significa “debajo” y tenuse que tenía como significado “lado”.
Propiedades
Las propiedades de la hipotenusa se fundamentan en el teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes que tienen los catetos. De esta forma, la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales de ambos catetos. Estas proyecciones ortogonales son las siguientes:
La longitud que tiene la hipotenusa será siempre igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales que presentan los dos catetos.
El cuadrado de la longitud que tiene un cateto es igual al producto de la longitud que tiene su proyección ortogonal sobre la hipotenusa por la longitud de ésta, lo que es igual a · b² = a · mc² = a · n.
También, la longitud que tiene un cateto b es la media proporcional que existe entre las longitudes de su proyección m y la de la hipotenusa a, en otras palabras a/b = b/ma/c = c/n.
Razones trigonométricas
Recordemos que el concepto de razón trigonométrica se refiere a los vínculos que se pueden establecer entre los lados que tiene un triángulo el cual dispone de un ángulo de 90º. Existen tres grandes razones trigonométricas que son: tangente, seno y coseno.
En todo triángulo rectángulo que tiene medidas en sus lados de forma independiente, nos referimos al cateto y a la hipotenusa, existen también relaciones que se dan entre sus lados y que dependen del valor que tienen los ángulos agudos del triángulos.
Cómo se calcula la hipotenusa
La medida de la hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágoras, si se conoce la longitud de los otros dos lados, denominados catetos. De acuerdo con el Teorema de Pitágoras:
- La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de los catetos.
- El cateto de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el otro cateto al cuadrado.
La fórmula que se utiliza para calcular la hipotenusa es muy sencilla y te la decimos a continuación: c² = a² + b² y al resultado que se obtiene de esta ecuación, se le debe de sacar la raíz cuadrada, obteniendo de esta manera la hipotenusa.
Ejemplos
Ejemplo 1
Calcular cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 1.
Por simple aplicación del teorema tenemos que la hipotenusa es:
- H2 = 12 + 12
- H2 = 2
- H = √2
Ejemplo 2
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 2 y uno de sus catetos mide 1. Calcular cuánto mide el otro cateto.
- 22 = 12 + b2
- 4 = 1 + b2
- B2 = 3
- B = √3
