Factorización

Definición

En el campo de las matemáticas, la factorización es definida como la ruptura o descomposición que se presenta en un determinado número en un producto diferente o factores, los cuales, en el momento de ser multiplicados, dan como resultado el número original. Con este tipo de método matemático, es posible reducir cualquier ecuación de tipo algebraica en una forma más sencilla en la cual, las ecuaciones son representadas como el producto de factores.

Características de la factorización

Algunas de las características más importantes y notables que se pueden encontrar en la factorización son las siguientes:

• Por medio de la factorización se puede descomponer cualquier expresión algebraica.
• La factorización de números enteros es cubierta por el teorema fundamental de la aritmética.
• La factorización de los polinomios es cubierta por medio del teorema fundamental de álgebra.
• Cuando se debe de factorizar cantidades sumamente grandes, es necesario el uso de diferentes tipos de algoritmos más sofisticados.
• Implica la descomposición de un polinomio.

Historia

La factorización ha sido un tema de mucha relevancia en la vida de todos los matemáticos a lo largo de la historia y ha sido también una de las herramientas más importantes que se han utilizado para lograr transformar las expresiones algebraicas. Los babilonios, egipcios, hindúes, griegos y chinos, empezaron a factorizar números desde la antigüedad y con el paso del tiempo se fue extendiendo a otros lugares.

En el año 2000 a.C., los babilonios logran empezar a encontrar soluciones a las ecuaciones cuadráticas completando cuadrados. Entre los años 1050 y 711 a.C., en China, surge uno de los libros más importantes sobre el tema el cual implicaba la solución de ecuaciones de segundo grado que tuvieran una incógnita. En el año 300 a.C. en Grecia, el matemático griego Euclides hizo su libro sobre soluciones de ecuaciones de segundo grado completando cuadrados con aplicación de áreas.

Los árabes luego publicaron su libro sobre álgebra árabe y de la misma manera lo hicieron los indios. En el año 1545, en Italia, Scipione del Ferro logra incorporar las ecuaciones cúbicas y las de cuarto grado y en Estados Unidos, en el año 1611, Niels Henrik resolvió algebraica de ecuaciones.

Cómo se hace

Si se necesita factorizar un número para luego poder descomponerlo, entonces lo que se debe de hacer es realizar divisiones de forma sucesiva entre los divisores primos que tenga el número para poder así llegar a obtener el número 1 como cociente. En este caso, es necesario el uso de una barra vertical, al lado derecho de la misma se escribirán los divisores primos y en la parte izquierda, los cocientes. Por ejemplo:

En el caso de que se necesite factorizar un polinomio, entonces se recomienda seguir los siguientes pasos:

• Encontrar el factor común cuando no existe un término independiente.
• Determinar si se trata de un binomio.
• Realizar la comprobación para determinar si es un trinomio cuadrado perfecto.
• Determinar si es un trinomio de segundo grado o un polinomio de grado superior a dos.

Para qué sirve la factorización

La factorización es un proceso matemático que sirve para poder descomponer una determinada expresión de tipo algebraica en diferentes factores para luego poder representarla de una forma más sencilla.

Tipos

Existen dos tipos principales de factorización los cuales se mencionan a continuación:

• Factorización de números primos: todos los números enteros tienen la gran capacidad de poder descomponerse en sus factores primos. En este caso es importante recordar que un número primo es el que puede ser divido entre 1 y el mismo número. Entonces, un número determinado X puede ser descompuesto como la multiplicación de sus factores primos.
• Factorización de expresiones algebraicas: tiene como principal objetivo el poder llevar un polinomio para luego expresarlo como el producto que resulta de sus factores polinomiales simples.
• Factorización de polinomios: estos cálculos por lo general deben de realizarse utilizando distintos sistemas de álgebra computacional y se conoce también con el nombre de factorización de matrices, la cual se refiere a la descomposición de una matriz como el producto de por lo menos dos matrices.

Casos

Los casos de factorización son los siguientes:

• Caso 1 (Factor Común): se aplica en binomios, trinomios y polinomios. Este es el primer caso que debe de ser analizado antes de realizar la factorización y necesita saber cuál es el factor común. De los términos se deberá de extraer el Máximo Común Divisor y de las letras o de las expresiones en paréntesis, se extrae el menor exponente. Luego se escribirá el factor común seguido de un paréntesis en el cual se deberá de anotar el polinomio que resulta luego de que el factor común ha dejado cada término.
• Caso dos (Factor común por agrupación de términos): puede ser aplicado en los polinomios que tienen 4, 6,8 o más término pero solamente si éstos son par y si ya se sabe que no cuentan con un factor común.
• Caso tres (Diferencia de cuadrados perfectos): se puede aplicar solamente en el caso de los binomios en los cuales el primer término sea positivo y el segundo sea negativo. En este caso, puede ser reconocido porque los coeficientes que tiene los términos son representados con números cuadrados perfectos.
• Caso cuatro (Trinomio cuadrado perfecto): en este caso, el trinomio debe de presentarse en forma ascendente o descendente y el primer y le tercer término deberán de ser siempre positivos y cuadrados perfectos.
• Caso cinco (Trinomio de la forma x^2n + bx^n + c): se da en trinomios organizados de forma descendente y en los cuales el coeficiente del primer término sea el número
• Caso seis (Trinomio de la forma ax^2 + bx + c): se presenta en aquellos trinomios que se encuentran organizados de forma descendente y en donde el coeficiente principal sea positivo y diferente al número 1.
• Caso siete (Diferencia y suma de cubos): solamente puede ser aplicado en binomios en donde el primer término sea positivo y el segundo sea positivo o negativo. Los términos en este caso son números cubos perfectos.

Importancia

La factorización resulta ser un proceso bastante importancia pues tiene la capacidad de poder simplificar fracciones algebraicas grandes para poder luego resolver diferentes tipos de ecuaciones y soluciones problemas matemáticos de forma sistemática y más sencilla.

Ejemplos de factorización

Algunos ejemplos de factorización son:

Sea el Polinomio: P(x) = x² – 4

a² – b² = (a+b)(a-b)

En P(x):

P(x) = (x+2)(x-2)

El Polinomio P(x) se ha expresado en un Producto de Factores Primos, los cuales son: (x+2) y (x-2)

El Polinomio: P(x) = x² + 2x +1

Se puede expresar como:

P(x) = (x+1)²

Esto sería su factorización del polinomio, pues se cumple el trinomio cuadrado perfecto.

Es decir: (x+1)(x+1) = x² + 2x +1